Exercices

Fonction factorielle

On rappelle que factorielle de n (notée $!n$ ) est définie ainsi:

$$n! = 1 \times 2 \times \ldots \times (n - 1) \times n$$

Par exemple:

• $2! = 2 \times 1 = 2$ ,
• $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ ,
• $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ .

1. Écrire une fonction itérative (non récursive) appelée factorielle qui prend un paramètre n entier en entrée et qui renvoie le factoriel de n en sortie.
2. Écrire une version récursive de cette fonction appelée factorielle_rec.

Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers définie par récurrence.

Les deux premiers termes sont 0 et 1, puis un terme est la somme des deux termes précédents.

On obtient ainsi les nombres dits de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

La définition mathématique est:

$$\begin{aligned} f_0 &= 0 \\ f_1 &= 1 \\ f_n &= f_{n-1} + f_{n-2} \ \text{pour}\ n > 1 \end{aligned}$$

1. Écrire une version récursive fibo qui calcule le terme $f_n$ de la suite de Fibonacci. Par exemple: fibo(7) renvoie 13.
2. Écrire une fonction itérative (non récursive) fibo_iter.

Parité d’un entier naturel

La fonction est_pair définie ci-dessous indique si un entier naturel est pair ou non.

def est_pair(n):
    while n > 0:
        n = n - 2
    return n == 0

Écrire une version récursive de cette fonction est_pair_rec.

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Fonction somme

On autorise seulement deux opérations sur les entiers:

• Ajouter 1;
• retrancher 1.

La fonction somme définie ci-dessous renvoie la somme de deux entiers positifs avec ces deux opérations.

def somme(a, b):
    while b > 0:
        a = a + 1
        b = b - 1
    return a

1. Écrire une version récursive de cette fonction somme_rec.
2. Adapter le code des fonctions somme et somme_rec afin de pouvoir renvoyer la somme de deux entiers quelconques.

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Somme des éléments d’une liste

1. Écrire une fonction récursive avec accumulateur somme_list_rec(tab:list, somme=0) -> int: qui prend un paramètre une liste de nombres et renvoie la somme des termes de cette liste. Par exemple: somme_list_rec([4, 7, 2]) renvoie 13.
2. Expliquer le déroulement de l’exécution de cette fonction lors de l’appel somme_list_rec([4, 7, 2]). On pourra s’aider du site http://pythontutor.com/.

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Inversion d’une chaîne de caractères

Écrire une fonction récursive avec accumulateur inverse(txt:str, inv="") -> str: qui prend en paramètre une chaîne de caractères txt et qui renvoie la chaîne en inversant l’ordre des lettres. Par exemple: inverse("azerty") renvoie ytreza.

Utilisation d’accumulateurs dans la suite de Fibonacci

Le calcul des nombres de Fibonacci est rendu beaucoup plus efficace en utilisant des accumulateurs qui retiennent les valeurs des deux termes précédents afin d’éviter de les recalculer.

1. Compléter le code ci-dessous pour mettre en pratique cette technique.

   def fib_acc(n, f0=0, f1=1):
       # cas de base
       if n == 0:
           return ...
       elif n == 1:
           return ...
       # appel récursif
       return ...
   

2. Comparer l’efficacité de ces deux algorithmes en calculant un terme de rang assez élevé.

3. Chronométrer ces deux algorithmes grâce à la méthode time.time

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