Ce chapitre ne pourra pas faire l'objet d'une évaluation lors de l'épreuve terminale écrite et pratique de l'enseignement de spécialité. [BO MENE2121274N]{.cite-source}

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Graphes : structures relationnelles.

Sommets, arcs, arêtes, graphes orientés ou non orientés.

Modéliser des situations sous forme de graphes.

Écrire les implémentations correspondantes d'un graphe : matrice d'adjacence, liste de successeurs/de prédécesseurs.

Passer d'une représentation à une autre.

On s'appuie sur des exemples comme le réseau routier, le réseau électrique, Internet, les réseaux sociaux.

Le choix de la représentation dépend du traitement qu'on veut mettre en place : on fait le lien avec la rubrique « algorithmique ».

Lien vers le programme complet

Dans ce chapitre, nous étudions les graphes, une structure de données très utilisée pour représenter les liens et les interactions entre des objets, les personnes, les villes, les ordinateurs... En effet, nous verrons qu'il existe de nombreuses variétés de graphes permettant ainsi de décrire des situations diverses, tout en conservant, une même représentation et donc des mêmes méthodes pour les manipuler par informatique.

Les graphes : une structure de données non linéaire

Vous êtes déjà habitués à manipuler des listes, n-uplets ou encore les piles et les files, qui sont des exemples de structures de données linéaires, c'est-à-dire à une dimension, on peut les parcourir du début à la fin en suivant un seul chemin.

Dans le chapitre précédent, nous avons vu les arbres, un exemple structure de données non linéaire très utilisée pour représenter une hiérarchie entre des données comme des liens de descendance dans un arbre généalogique.

En fait, les arbres sont des graphes avec bien particuliers tels que tous les sommets sauf la racine ont un unique parent(on parle de graphe acyclique orienté).

Maintenant que nous parlons de graphe, il n'existe plus aucune restriction, il n'y a plus de racine, plus de restriction sur les parents, les enfants, ou quoi que ce soit.

Graphe et
arbres

graphe

Un graphe est une structure de données composée d'objets: les sommets dans laquelle certaines paires d'objets sont reliées par des arêtes (ou arcs dans le cas de graphes orientés).

[Lexique de la théorie des graphes]{.cite-source}

Sommets et arêtes sur un
graphe

Graphe orienté

On distingue les graphes non orientés, où les arêtes relient deux sommets de manière symétrique et les graphes orientés, où les arêtes, alors appelés arcs, relient deux sommets de manière asymétrique.

Lexique de la théorie des graphes

Graphes orientés et non
orientés

Graphe pondéré

Un graphe pondéré ou un réseau est un graphe où chaque arête porte un nombre (son poids).

Ces poids peuvent représenter par exemple des coûts, des longueurs ou des capacités, en fonction du problème traité. Ces graphes sont fréquents dans divers contextes, comme le problème de plus court chemin ou le problème du voyageur de commerce.

Vocabulaire des graphes

Sommets adjacents

Deux sommets reliés par une arête sont dits adjacents.

Graphe complet

Un graphe est dit complet lorsque tous ses sommets sont adjacents.

Ordre d'un graphe

L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.

Degré d'un sommet

Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité.

Lexique de la théorie des graphes

Quelques exemples de graphes

En fait les graphes sont omniprésents, car il est rare que l'information puisse être réduite à une structure linéaire comme les listes ou encore à un arbre dans lequel la descendance est parfaitement établie.

Internet

Prenons l'exemple d'internet, le réseau internet est un ensemble de machines sont identifiées par leur adresse IP. Elles sont reliées entre elles sans une machine mère qui centralise les échanges et dans lequel le chemin des paquets n'est pas unique entre deux machines grâce aux protocoles de routage.

Lorsque nous cliquons entre des sites Web et que nous naviguons entre les URL, nous naviguons vraiment à travers un graphe. Parfois, ces graphiques ont des sommets avec des bords non orientés - je peux aller et venir d'une page Web à une autre - et d'autres qui sont dirigés - je ne peux que passer de la page Web A à la page Web B, et jamais l'inverse.

Mais il y a un meilleur exemple qui illustre magnifiquement nos interactions quotidiennes avec les graphes: les réseaux sociaux.

Réseaux sociaux

Prenons l'exemple des réseaux sociaux tels sur Facebook ou son alternative libre Diaspora.

Dans ce type de réseau social:

  • les sommets sont les utilisateurs
  • les arêtes sont les liens d'amitié entre ces utilisateurs.

Réseau social
d'amis [A gentle introduction to graph theory]{.cite-source}

L'amitié se veut être un lien bidirectionnel, on ne peut être ami de quelqu'un qui n'est pas votre ami: C'est un graphe non-orienté.

Au contraire dans les réseaux de microblogging comme Twiter ou son alternative libre Mastodon, les liens ne sont pas de la même nature.

On peut suivre une personne, mais il n'est pas obligatoire que cette personne vous suivre en retour.

Réseau social d'amis avec
suivi [A gentle introduction to graph theory]{.cite-source}

Le suivi est un lien directionnel : C'est un graphe non-orienté.

Graphes routiers

Les graphes routiers sont un bel exemple de graphes pondérés non-orientés. On peut utiliser le temps ou la distance pour la pondération.

On place souvent les sommets à leur position réelle sur une carte sur ce type de graphes.

Comment implémenter un graphe?

Il existe deux façons d'implémenter un graphe:

  • La matrice d'adjacence,
  • la liste de successeurs/prédécesseurs.

Nous allons voir comment réaliser ces deux implémentations, et comment passer de l'une à l'autre.

La liste de successeurs/prédécesseurs

Liste d'adjacence

La liste d'adjacence d'un graphe non orienté, est la liste des voisins de chaque sommet.

[Article Wikipédia sur la liste d'adjacence]{.cite-source}

Liste d'adjacence d'un graphe
orienté

La matrice d'adjacence

Matrice d'adjacence

On représente les liens entre les nn sommets du graphe par une matrice de dimension nn dont l'élément non diagonal aija_{ij} est le nombre d'arêtes (ou son poids pour un graphe pondéré) liant le sommet ii au sommet jj.

L'élément diagonal aiia_{ii} est le nombre de boucles au sommet i.

Dans le cas d'un graphe non orienté, la matrice d'adjacence est symétrique.

Matrice d'adjacence d'un graphe non
orienté

Pour un graphe orienté, elle est quelconque.

Matrice d'adjacence d'un graphe
orienté

[Article Wikipédia sur les matrices d'adjacence]{.cite-source}

Quelle implémentation choisir?

Cette représentation est particulièrement adaptée aux graphes creux (c'est-à-dire peu denses), contrairement à la matrice d'adjacence adaptée aux graphes denses.

Implémentation Accès à une arête Accès à un voisin Utilisation préférée
matrice d'adjacence O(1)O(1) O(n)O(n) Graphe dense
liste de successeurs O(n)O(n) O(1)O(1) Graphe creux

Implémentations en Python

Le créateur de Python Guido Von Rossum, proposa une implémentation de graphe en Python utilisant la liste d'adjacence(https://www.python.org/doc/essays/graphs/):

Few programming languages provide direct support for graphs as a data type, and Python is no exception. However, graphs are easily built out of lists and dictionaries. For instance, here's a simple graph (I can't use drawings in these columns, so I write down the graph's arcs):

A -> B
A -> C
B -> C
B -> D
C -> D
D -> C
E -> F
F -> C
graph = {'A': ['B', 'C'],
         'B': ['C', 'D'],
         'C': ['D'],
         'D': ['C'],
         'E': ['F'],
         'F': ['C']}

En ce qui concerne les matrices, on les représente généralement sous forme de tableaux de tableaux, comme vu en première.

(123456789)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
M = [[1, 2, 3],
     [4, 5, 6],
     [7, 8, 9]]
 
  1. Dessiner une représentation conventionnelle du graphe proposé par Guido Von Rossum.
  2. Écrire la matrice d'adjacence correspondante.
  3. Proposer une implémentation de la matrice d'adjacence de ce graphe en Python en utilisant une liste de liste.