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Recherche dichotomique dans un tableau trié

Montrer la terminaison de la recherche dichotomique à l’aide d’un variant de boucle.

Des assertions peuvent être utilisées.

La preuve de la correction peut être présentée par le professeur.

Lien vers le programme complet

Dans ce chapitre, nous allons étudier un algorithme très efficace de recherche d'élément dans un tableau: la recherche dichotomique.

Il illustre une méthode algorithmique très efficace et utile appelée: "Diviser pour régner".

Commencons par créer une liste d'éléments

Pour cela nous allons écrire une fonction pour créer facilement des listes de mots.


Entrée
import random
import string

lettres = string.ascii_lowercase

def create_liste(N, l=3):
    """Renvoie une liste de N mots ayant l lettres"""
    L = []
    # on rend le générateur prédictible en imposant une graine fixe
    random.seed(1789)
    for i in range(N):
        mot = ''.join(random.choice(lettres) for i in range(l))
        L.append(mot)
    return L
mots = create_liste(10, 3)
print(mots)
Sortie
['xwt', 'bup', 'bou', 'xbd', 'upd', 'fuz', 'tfb', 'yht', 'ryd', 'twn']

La dichotomie

Nous allons maintenant étudier l'algorithme de recherche par dichotomie. On peut comparer ça à une recherche dans un dictionnaire (qui a eu la bonne idée d'être trié!)

La recherche dichotomique, ou recherche par dichotomie, est un algorithme de recherche pour trouver la position d'un élément dans un tableau trié. Le principe est le suivant : comparer l'élément avec la valeur de la case au milieu du tableau ; si les valeurs sont égales, la tâche est accomplie, sinon on recommence dans la moitié du tableau pertinente. Source Wikipedia

Illustration

Cette image illustre la recherche de l'élément 4 dans tableau trié.

Binary search into array

Implémentation en Python

Voici un exemple d'implémentation en Python.

ATTENTION: Il faut bien trier la liste avant d'effectuer la recherche, on va utiliser une méthode implémentée dans Python dans ce chapitre, et nous verrons la semaine prochaine quelques algorithmes de tri.


Entrée
# on crée la liste
mots = create_liste(10, 3)
# on la trie
mots.sort()
print("Voici la liste des mots\n", mots)
Sortie
Voici la liste des mots
 ['bou', 'bup', 'fuz', 'ryd', 'tfb', 'twn', 'upd', 'xbd', 'xwt', 'yht']

Définition de la fonction de recherche


Entrée
def recherche_dichotomique(élément, liste):
    # on initialise les indices début 
    # et fin aux extrémités de la liste
    début = 0
    fin = len(liste)
    
    while début <= fin:
        # On se place au milieu de la liste
        milieu = (début + fin) // 2 # il, s'agit d'une division entière
        print("on cherche en: ", milieu, liste[milieu])
        if liste[milieu] == élément:
            print(élément, "trouvé à l'indice:", milieu , liste[milieu])
            return True
            # on arrête la boucle
            début = fin - 1
        elif liste[milieu] < élément:       
            début = milieu + 1
        else:
            fin = milieu - 1
    print(élément, "non trouvé")
    return False

Appel de la fonction


Entrée
recherche_dichotomique('fuz', mots)
Sortie
on cherche en:  5 twn
on cherche en:  2 fuz
fuz trouvé à l'indice: 2 fuz

Résultat
True

Incroyable on a trouvé en deux fois! Et si on ne trouve pas alors?


Entrée
recherche_dichotomique('aaa', mots)
Sortie
on cherche en:  5 twn
on cherche en:  2 fuz
on cherche en:  0 bou
aaa non trouvé

Résultat
False

Incroyable on a trouvé en trois fois seulement. Il s'agit d'un logarithme ayant une compléxité en log2(n)log_2 (n), c'est à dire que pour une liste de n éléments il trouve le résultat en log2(n)log_2 (n) opérations.

Par exemple:

  • si n= 10: log2(10)=3.3log_2 (10) = 3.3.
  • si n= 1E7: log2(10000000)=23log_2 (10 000 000) = 23.

Au lieu de 10 millions d'opérations, on en effectue 23!

Mesurons le temps de recherche de cet algorithme sur une liste de 10 millions d'éléments pour le comparer à la recherche en table.

Attention à ne pas oublier de classer la liste.


Entrée
mots = create_liste(int(1E7), 5)
mots.sort()

Entrée
%%timeit
recherche_dichotomique('abcde', mots)
Sortie
on cherche en:  5000000 naalx
on cherche en:  2499999 gncqd
on cherche en:  1249999 dgnwz
on cherche en:  624999 bqiqg
on cherche en:  312499 aveee
on cherche en:  156249 akpdh
on cherche en:  78124 afhut
on cherche en:  39061 acqxs
on cherche en:  19530 abipe
on cherche en:  9764 aarlr
on cherche en:  14647 ababy
on cherche en:  17088 abegy
on cherche en:  15867 abcer
on cherche en:  15257 abbdl
on cherche en:  15562 abbro
on cherche en:  15714 abbxt
on cherche en:  15790 abcay
on cherche en:  15828 abccm
on cherche en:  15847 abcdk
on cherche en:  15837 abccz
on cherche en:  15842 abcdd
on cherche en:  15844 abcdd
on cherche en:  15845 abcde
abcde trouvé à l'indice: 15845 abcde
on cherche en:  5000000 naalx
on cherche en:  2499999 gncqd
on cherche en:  1249999 dgnwz
on cherche en:  624999 bqiqg
on cherche en:  312499 aveee
on cherche en:  156249 akpdh
on cherche en:  78124 afhut
on cherche en:  39061 acqxs
on cherche en:  19530 abipe
on cherche en:  9764 aarlr
on cherche en:  14647 ababy
on cherche en:  17088 abegy
on cherche en:  15867 abcer
on cherche en:  15257 abbdl
on cherche en:  15562 abbro
on cherche en:  15714 abbxt
on cherche en:  15790 abcay
on cherche en:  15828 abccm
on cherche en:  15847 abcdk
on cherche en:  15837 abccz
on cherche en:  15842 abcdd
on cherche en:  15844 abcdd
on cherche en:  15845 abcde
abcde trouvé à l'indice: 15845 abcde
on cherche en:  5000000 naalx
on cherche en:  2499999 gncqd
on cherche en:  1249999 dgnwz
on cherche en:  624999 bqiqg
on cherche en:  312499 aveee
on cherche en:  156249 akpdh
on cherche en:  78124 afhut
on cherche en:  39061 acqxs
on cherche en:  19530 abipe
on cherche en:  9764 aarlr
on cherche en:  14647 ababy
on cherche en:  17088 abegy
on cherche en:  15867 abcer
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abcde trouvé à l'indice: 15845 abcde
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